為何樽裝飲品通常都是圓柱體？原來與π有密切關係｜星島教室

更新時間：16:09 2025-09-11 HKT
發佈時間：16:09 2025-09-11 HKT

你是否曾在炎炎夏日拿起一罐冰涼的汽水，或挑選林林總總的樽裝飲品時，留意到飲品包裝的巧妙設計？從圓柱瓶身到內陷凹底，這些包裝均隱藏着圓周率π的智慧！製造商會利用π精確計算瓶身的容量與用料，優化表面面積以降低成本，同時打造節省材料又耐用的瓶子。讓我們一起來揭開瓶身設計背後的數學秘密吧！

π與圓柱的秘密

可樂、礦泉水還是茶，它們幾乎都是像圓柱的瓶子。

說起可樂、礦泉水還是茶，它們幾乎都是像圓柱的瓶子。但這並不是隨便設計的，而是因為圓柱設計能節省材料，是製造商以「最小材料達成最大容量」的巧妙設計。若要了解飲品瓶的容量及最少材料的關係，我們可以運用圓柱體積公式及表面面積公式進行計算。

圓柱體積公式：V=πr²h，幫助我們計算出瓶子的容量，公式中的r是瓶底半徑，h是高度，π讓計算更精確。

表面面積公式：A=2πrh+2πr²，幫助我們計算瓶子需要的物料（塑膠或鋁）。公式中的2πrh是瓶身曲面的面積，2πr²則是計算上下底的面積。

以一個直徑6.6厘米（r=3.3厘米）、高約15.5厘米的礦泉水瓶為例。

體積：V=π×3.3²×15.5≈530.29毫升

表面面積公式：A=2×π×3.3×15.5+2×π×3.3²≈389.81平方厘米

考慮到瓶蓋的面積與上底的面積不同和瓶頸位置較窄，當中存在誤差，但我們估計礦泉水瓶能裝大約500毫升的水。而表面面積決定了用料及包裝成本，這500毫升的礦泉水瓶便是需要約389.81平方厘米的材料。

π與圓柱的秘密

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為何圓柱更慳料？

若我們比較一個相同容量（約500毫升）的長方體設計的瓶子，底面積為7.5×7.5厘米，高度約9.43厘米，其體積及表面面積如下︰

體積：7.5×7.5×9.43≈530.44立方厘米

表面面積：A = 2×(7.5×7.5+7.5×9.43+7.5×9.43)=395.4平方厘米

一個500毫升的圓柱設計的飲品瓶（半徑3.3厘米，高度約15.5厘米），其表面面積為389.81平方厘米，低於長方體設計的395.4平方厘米，這意味同一容量下，圓柱設計的用料會較少。若要進一步優化圓柱設計的比例，如半徑4.3厘米，高度9.13厘米，其表面面積更可降至362.85平方厘米（A=2×π×4.3×9.13+2×π×4.3²≈362.85平方厘米）。

π幫助計算瓶子的用料，而這就是製造商多用圓柱設計的秘密，使瓶子能以「最小材料達成最大容量」，不但經濟實惠，也是環保之選！

瓶底的數學

飲品瓶的瓶底通常向內凹，而不是平的。

為何不是平？

你有沒有注意到，飲品瓶的瓶底通常向內凹，而不是平的？這個像「碗」一樣的球冠形或拱形設計，背後也存在π的參與。

球冠體積公式：V=πh(3r²+h²)，其中r是瓶底半徑，h是凹陷高度。例如，直徑6.6厘米（r=3.3厘米）、凹陷0.8厘米的瓶底，體積約：V=π×0.8×(3×3.3²+0.8²)≈83.72毫升

為何用凹底？

表面上凹底看似減少瓶子的容量，實質上卻是增強瓶子結構的穩定性。若瓶底採用平底設計，便須增加厚度以承受液體或氣體內部壓力，導致材料浪費。相較之下，凹底設計有以下好處︰它巧妙地通過向內凹陷的曲面結構，將壓力分散並傳導至瓶壁，以鋁罐裝的碳酸飲料為例，330毫升可樂罐的淺凹底，凹陷約0.5厘米，提升瓶身結構強度，而以上原因使製造商可使用更薄的材料，節省成本。同時凹底設計有效降低瓶子變形或爆裂的風險及降低重心，提升運輸效率及穩定性。

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π與瓶蓋螺紋設計

飲品瓶能密封不漏又容易開啟，全因瓶蓋的螺紋設計。瓶口周長決定螺紋的長度，我們可利用圓周公式計算瓶口的周長︰C=2πr。例如，香港超市常見的500毫升礦泉水瓶，瓶口半徑約為1.5厘米，其周長為：C=2×π×1.5≈9.42厘米。為確保飲料的密封性，螺紋通常圍繞瓶口2至3圈，總長約20至30厘米，圈數越多則密封越緊密。π的計算使螺紋精準貼合瓶口，防止飲品在運輸過程中溢出。

另外，螺紋像一個圍繞瓶口的斜面，當中密封性與螺紋斜面角度息息相關。當我們開瓶時，施加的力（F）會沿着這條斜面分散，θ是螺紋斜面角度（相對於水平面，通常15-30°）。根據斜面力學公式，角度越小，開瓶力越大，密封性更強。因此，假設在同樣的密封力下，若θ=20°（最常見瓶蓋角度），適合成人開啟；若θ=15°，瓶子會更緊密封，較難開，適合高壓飲料；若θ=30°，這是易開設計，適合小孩或老人。

飲品包裝設計是體現數學融入日常生活的絕佳例子，每一罐汽水和每支水的背後都展現數學的智慧。計算表面面積能精簡材料的使用、體積能精準計算容量需求、圓周計算飲料的密封性，當中的計算真的是缺π不可，使我們發現數學在生活中無處不在。昐望大家繼續發掘生活中有趣的數學。