为何樽装饮品通常都是圆柱体？原来与π有密切关系｜星岛教室

更新时间：16:09 2025-09-11 HKT
发布时间：16:09 2025-09-11 HKT

你是否曾在炎炎夏日拿起一罐冰凉的汽水，或挑选林林总总的樽装饮品时，留意到饮品包装的巧妙设计？从圆柱瓶身到内陷凹底，这些包装均隐藏着圆周率π的智慧！制造商会利用π精确计算瓶身的容量与用料，优化表面面积以降低成本，同时打造节省材料又耐用的瓶子。让我们一起来揭开瓶身设计背后的数学秘密吧！

π与圆柱的秘密

可乐、矿泉水还是茶，它们几乎都是像圆柱的瓶子。

说起可乐、矿泉水还是茶，它们几乎都是像圆柱的瓶子。但这并不是随便设计的，而是因为圆柱设计能节省材料，是制造商以「最小材料达成最大容量」的巧妙设计。若要了解饮品瓶的容量及最少材料的关系，我们可以运用圆柱体积公式及表面面积公式进行计算。

圆柱体积公式：V=πr²h，帮助我们计算出瓶子的容量，公式中的r是瓶底半径，h是高度，π让计算更精确。

表面面积公式：A=2πrh+2πr²，帮助我们计算瓶子需要的物料（塑胶或铝）。公式中的2πrh是瓶身曲面的面积，2πr²则是计算上下底的面积。

以一个直径6.6厘米（r=3.3厘米）、高约15.5厘米的矿泉水瓶为例。

体积：V=π×3.3²×15.5≈530.29毫升

表面面积公式：A=2×π×3.3×15.5+2×π×3.3²≈389.81平方厘米

考虑到瓶盖的面积与上底的面积不同和瓶颈位置较窄，当中存在误差，但我们估计矿泉水瓶能装大约500毫升的水。而表面面积决定了用料及包装成本，这500毫升的矿泉水瓶便是需要约389.81平方厘米的材料。

π与圆柱的秘密

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为何圆柱更悭料？

若我们比较一个相同容量（约500毫升）的长方体设计的瓶子，底面积为7.5×7.5厘米，高度约9.43厘米，其体积及表面面积如下︰

体积：7.5×7.5×9.43≈530.44立方厘米

表面面积：A = 2×(7.5×7.5+7.5×9.43+7.5×9.43)=395.4平方厘米

一个500毫升的圆柱设计的饮品瓶（半径3.3厘米，高度约15.5厘米），其表面面积为389.81平方厘米，低于长方体设计的395.4平方厘米，这意味同一容量下，圆柱设计的用料会较少。若要进一步优化圆柱设计的比例，如半径4.3厘米，高度9.13厘米，其表面面积更可降至362.85平方厘米（A=2×π×4.3×9.13+2×π×4.3²≈362.85平方厘米）。

π帮助计算瓶子的用料，而这就是制造商多用圆柱设计的秘密，使瓶子能以「最小材料达成最大容量」，不但经济实惠，也是环保之选！

瓶底的数学

饮品瓶的瓶底通常向内凹，而不是平的。

为何不是平？

你有没有注意到，饮品瓶的瓶底通常向内凹，而不是平的？这个像「碗」一样的球冠形或拱形设计，背后也存在π的参与。

球冠体积公式：V=πh(3r²+h²)，其中r是瓶底半径，h是凹陷高度。例如，直径6.6厘米（r=3.3厘米）、凹陷0.8厘米的瓶底，体积约：V=π×0.8×(3×3.3²+0.8²)≈83.72毫升

为何用凹底？

表面上凹底看似减少瓶子的容量，实质上却是增强瓶子结构的稳定性。若瓶底采用平底设计，便须增加厚度以承受液体或气体内部压力，导致材料浪费。相较之下，凹底设计有以下好处︰它巧妙地通过向内凹陷的曲面结构，将压力分散并传导至瓶壁，以铝罐装的碳酸饮料为例，330毫升可乐罐的浅凹底，凹陷约0.5厘米，提升瓶身结构强度，而以上原因使制造商可使用更薄的材料，节省成本。同时凹底设计有效降低瓶子变形或爆裂的风险及降低重心，提升运输效率及稳定性。

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π与瓶盖螺纹设计

饮品瓶能密封不漏又容易开启，全因瓶盖的螺纹设计。瓶口周长决定螺纹的长度，我们可利用圆周公式计算瓶口的周长︰C=2πr。例如，香港超市常见的500毫升矿泉水瓶，瓶口半径约为1.5厘米，其周长为：C=2×π×1.5≈9.42厘米。为确保饮料的密封性，螺纹通常围绕瓶口2至3圈，总长约20至30厘米，圈数越多则密封越紧密。π的计算使螺纹精准贴合瓶口，防止饮品在运输过程中溢出。

另外，螺纹像一个围绕瓶口的斜面，当中密封性与螺纹斜面角度息息相关。当我们开瓶时，施加的力（F）会沿着这条斜面分散，θ是螺纹斜面角度（相对于水平面，通常15-30°）。根据斜面力学公式，角度越小，开瓶力越大，密封性更强。因此，假设在同样的密封力下，若θ=20°（最常见瓶盖角度），适合成人开启；若θ=15°，瓶子会更紧密封，较难开，适合高压饮料；若θ=30°，这是易开设计，适合小孩或老人。

饮品包装设计是体现数学融入日常生活的绝佳例子，每一罐汽水和每支水的背后都展现数学的智慧。计算表面面积能精简材料的使用、体积能精准计算容量需求、圆周计算饮料的密封性，当中的计算真的是缺π不可，使我们发现数学在生活中无处不在。昐望大家继续发掘生活中有趣的数学。