睇波学物理！破解「脚趾尾拉西」的空气动力学｜升A学堂

在绿茵场上，当你赞叹某位前锋踢出一记「脚趾尾拉西」划出一道完美弧线的「香蕉波」（又称「弧线球」），或看着守门员面对轨迹飘忽不定的「电梯球」（Knuckleball）而束手无策时，你是否曾想过：这其实是经典力学与流体力学的完美展现？今天就以物理和科学的角度，拆解隐藏在足球背后的「硬核」科学冷知识。

「香蕉波」与「马格努斯效应」

说到足球场上的物理，最著名的例子莫过于「香蕉波」。1997年四国邀请赛，巴西传奇左后卫罗拔图．卡路士（Roberto Carlos）在距离球门35米处主射自由球。球踢出后，起初看似会远远偏出右侧球门，甚至连球门后的球僮都吓得低头闪避；但足球在飞行途中竟奇迹地向左急转弯，擦着门柱内侧入网，让法国队门将巴夫斯呆若木鸡。这球被后世誉为「违反物理定律的入球」。但事实上，这球不仅没有违反物理定律，反而是物理学的最佳代言人。造成这种弯曲轨迹的幕后推手，称为「马格努斯效应」（Magnus Effect）。

当球员用脚内侧或外侧摩擦足球，使足球在空中飞行时产生高速旋转，魔法就开始了。空气可以被视为一种流体，当旋转的足球在空气中穿梭时，球体表面的粗糙纹理会带动周围的空气，形成一层跟着球一起旋转的薄空气层（边界层，Boundary Layer）。根据「伯努利定律」（Bernoulli's Principle），流体速度越快的地方，压力越小。假设一个足球向前飞行，同时带有逆时针方向的旋转，便会造成︰

1. 在球的左侧，球表面旋转的方向与迎面而来的气流方向相同，两者叠加导致该侧的空气流速加快，气压因此降低。
2. 在球的右侧，球表面旋转的方向与气流方向相反，两者相互抵消导致该侧的空气流速减慢，气压因此升高。

这种左右两侧的压力差，产生一股从高压区指向低压区的侧向力（Magnus Force）。在这股持续的侧向力作用下，足球的飞行轨迹便会向低压区（左侧）弯曲，形成优美的弧线。卡路士那一脚，初速高达时速137公里，且带有极高的旋转转速。在高速飞行初期，空气阻力较大，侧向偏转不明显；但当球速稍降，马格努斯效应的影响力瞬间放大，便造就了那道不可思议的急转弯。

「电梯球」与「卡门涡街」

如果说「香蕉波」是靠极致的旋转来控制轨迹，那么另一种让守门员闻风丧胆的绝技——「电梯球」（或称「蝴蝶球」），则是反其道而行，追求极致的「不旋转」。葡萄牙巨星基斯坦奴．朗拿度（Cristiano Ronaldo，C朗）便是此道高手。

「电梯球」的特点是：球在空中几乎没有任何旋转，飞行轨迹会出现不规则的上下左右飘忽，并在接近球门时如电梯般急速下坠。要解释这个现象，我们须引入流体力学中的另一个进阶概念：「卡门涡街」（Kármán Vortex Street）。

当一个非流线型物体（如不旋转的足球）在流体中快速移动时，流体会在物体后方分离，并交替地在物体两侧形成旋涡。这些旋涡会像街道上的路灯一样，有规律地在尾流中交错排列，因此得名。

当足球完全不旋转地高速前进时，空气会在球的后方交替脱落形成旋涡。每一次旋涡的脱落，都会对足球产生一个微小的侧向拉力。由于这些旋涡是左右、上下交替脱落的，足球就会受到不断改变方向的随机微小作用力，导致其轨迹产生肉眼可见的抖动和飘忽。

为甚么「电梯球」会「急速下坠」呢？这与「阻力危机」（Drag Crisis）有关。当球速处于一个特定临界范围（大约时速70至90公里）时，球体周围的空气气流会从平滑的「层流」（Laminar Flow）转变为混乱的「湍流」（Turbulent Flow）。湍流能让空气更紧贴球体表面，反而延缓了气流分离，使得空气阻力系数急剧下降。当球在飞行过程中因为微小的阻力而减速，一旦速度降至临界点以下，气流瞬间变回层流，空气阻力会突然大幅增加。这股突如其来的巨大阻力加上重力，就会导致足球在轨迹末端出现戏剧性的「急速下坠」。

下次当你熬夜观看世界杯，看着美斯（Messi）轻巧的挑射、麦巴比（Mbappe）狂暴的远射，或是奇云．迪布尼（Kevin De Bruyne）划破长空的精准弧线传中时，不妨在心中套用一下这些物理公式，让你感到物理学是多么神奇呢！

小思考，大智慧

1. 为甚么习惯了平原踢球的守门员和主罚球员，在高海拔地区比赛会容易失准？
2. 为何在下雨天踢球，足球往往有意想不到的轨迹？

参考答案

1. 当比赛在南美洲如玻利维亚的拉巴斯（海拔超过3600米）举行时，客队往往苦不堪言。除了人体缺氧外，物理学也是帮凶。高海拔地区空气稀薄，根据流体力学公式，空气阻力和马格努斯力都会与空气密度成正比。这意味着在高海拔踢球，球受到的阻力变小，球速会比平地快得多；同时，「香蕉波」的弯曲弧度也会大打折扣。习惯了在平原踢球的守门员和主罚球员，往往会对球的轨迹产生严重误判。
2. 下雨天踢球，足球会因为吸收水分或表面附着水滴而变得更重。根据牛顿第二定律（F=ma），在相同的踢球力量下，更重的球加速度会变小，初速变慢。同时，草地的摩擦系数大幅降低，球在草地上的滚动速度会变快且滑。此外，潮湿的球表面亦会改变空气边界层的特性，使球的空中轨迹变得更难预测。

本栏逢周一刊登，由教育评议会邀请资深中小学老师、校长及大学讲师撰稿，旨在为学生提供多元化的STEAM学习材料，引发学生探求知识的兴趣，将学习融入生活，培养学生的世界观、敏锐的触觉、积极学习的态度。

文：香港大学博士后研究员（人工智能）、教育评议会执委冯颖匡博士

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